1. 神秘变量与数据集
现在有一个数据集DX(dataset, 也可以叫datapoints)，每个数据也称为数据点。
我们假定这个样本受某种神秘力量操控，但是我们也无从知道这些神秘力量是什么？那么我们假定这股神秘力量有n个，起名字叫\(power_1, power_2,…, power_n\)吧，他们的大小分别是\(z_1, z_2, …, z_n\)，称之为神秘变量表示成一个向量就是
z =
\left(
\begin{array}{c}
z_1\\
z_2\\
\vdots\\
z_n
\end{array}
\right)
\)
z也起个名字叫神秘组合。
一言以蔽之：神秘变量代表了神秘力量的神秘组合关系。
用正经的话说就是：隐变量(latent variable)代表了隐因子(latent factor)的组合关系。
这里我们澄清一下隶属空间，假设数据集DX是m个点，这m个点也应该隶属于一个空间，比如一维的情况，假如每个点是一个实数，那么他的隶属空间就是实数集，所以我们这里定义一个DX每个点都属于的空间称为XS，我们在后面提到的时候，你就不再感到陌生了。
神秘变量z可以肯定他们也有一个归属空间称为ZS。
下面我们就要形式化地构造X与Z的神秘关系了，这个关系就是我们前面说的神秘力量，直观上我们已经非常清楚，假设我们的数据集就是完全由这n个神秘变量全权操控的，那么对于X中每一个点都应该有一个n个神秘变量的神秘组合\(z_j\)来神秘决定。
接下来我们要将这个关系再简化一下，我们假设这n个神秘变量不是能够操控X的全部，还有一些其他的神秘力量，我们暂时不考虑，那么就可以用概率来弥补这个缺失，为什么呢？举个例子，假设我们制造了一个机器可以向一个固定的目标发射子弹，我们精确的计算好了打击的力量和角度，但由于某些难以控制的因素，比如空气的流动，地球的转动导致命中的目标无法达到精准的目的，而这些因素可能十分巨大和繁多，但是他们并不是形成DX的主因素，根据大数定理，这些所有因素产生的影响可以用高斯分布的概率密度函数来表示。它长这样：
\(p(x|\mu,\sigma^2) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{1}{2}(\frac{x-\mu}{\sigma})^2} \)
当\(\mu = 0 \)时，就变成了这样：
\( p(x|\sigma^2) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}} \)
这是一维高斯分布的公式，那么多维的呢？比较复杂，推导过程见知乎，长这样：
不管怎样，你只要记住我们现在没有能力关注全部的神秘变量，我们只关心若干个可能重要的因素，这些因素的分布状况可以有各种假设，我们回头再讨论他们的概率分布问题，我们现在假定我们对他们的具体分布情况也是一无所知，我们只是知道他们处于ZS空间内。
前面说到了一个神秘组合，如果一个数据集X对应的神秘组合完全一样，那么这个数据集就是一个单一的分类数据集，如果是多个，那么就是多分类数据集，但如果是一个连续的组合数据，那么就是一个有点分不清界限的复杂数据集，就好比，我们这个数据集是一条线段的集合，线段的长度是唯一的神秘变量，那么只要长度在一个范围内连续变化，那么这个集合里的线段你就会发现分散的很均匀，你几乎没有办法区分开他们，也没法给他们分成几类，但如果这个长度值只能选择1,3,5，那么当你观察这个数据集的时候，你会发现他们会聚在三堆儿里。如果这个线段的生成完全依靠的是计算机，那么每一堆儿都是完全重合的，但如果是人画的，就可能因为误差，没法完全重合，这没法重合的部分就是我们说的其他复杂因素，我们通常用一个高斯分布来把它代表了。好，我们已经基本清晰了，我们该给这个神秘组合一个形式化的描述了。
假设有两个变量，\(z\in ZS \) 和 \(x \in XS\)，存在一个确定性函数族\( f(z;\theta)\)，族中的每个函数由\(\theta \in \Theta\)唯一确定，\(f: ZS \times \Theta \rightarrow XS \)，当\(\theta\)固定，z是一个随机变量(概率密度函数为\(P_z(z)\))时，那么\(f(z;\theta)\)就是定义在XS上的随机变量x，对应的概率密度函数可以写成g(x)。
那么我们的目标就是优化\(\theta\)从而寻找到一个f，能够是随机变量x的采样和X非常的像。这里需要注意一下，x是一个变量,DX是已经现成的数据集，x不属于DX，我特意将名字起的有区分度。
这样，f就是那个神秘力量通道，他把这些神秘力量的力度，通过f变成了x变量，而这个x变量就是与数据集DX具有直接关系的随机变量。
设一个数据集为DX，那么这个数据集存在的概率为\(P_t(DX)\)，则根据贝叶斯公式有：
其中，\(P_{xz}(DX|z;\theta)\)是我们新定义的概率密度函数，我们前面知道f是将z映射成x，而x又与DX有某种直接的关系，这个直接关系可以表示成\(P_x(DX|x)\)，那么\(P_t(DX) = \int P_x(DX|x)g(x)dx \)
这样我们就直接定义个\(P_{xz}(DX|z;\theta)\) 来替换\(P_x(DX|x)g(x)\)，从而表示z与DX的关系了。
好了，其实公式(1)就是我们的神秘力量与观察到的数据集之间的神秘关系，这个关系的意思我们直白的说就是：当隐秘变量按照某种规律存在时，就非常容易产生现在我们看到的这个数据集。那么，我们要做的工作就是当我们假定有n个神秘力量时，我们能够找到一个神奇的函数f，将神秘力量的变化转化成神奇的x的变化，这个x能够轻而易举地生成数据集DX。
从上面的描述里面我们看到，f是生成转换函数，公式(1)不表示这种转换关系，而是这种关系的最大似然估计(maximum likelihood)，它的意思是找到最有可能生成DX这个数据集的主导函数f。
接下来我们回到讨论\(P_{xz}(DX|z;\theta)\)这个概率密度函数上来，我们前面说过，如果z是全部的神秘力量，那么它产生的变量x就一定固定的，即当z取值固定时，x取值固定，但是现实中还有很多其他的因素，因而x的取值还与他们有关，他们的影响力，最终反映成了高斯函数，所以我们大胆假定\(P_{xz}\)是一个高斯分布的概率密度函数，即\(P_{xz}(DX|z;\theta) = N(DX|f(x;\theta), \sigma^2 * I)\)
注意z的分布我们依然是未知的。
假定我们知道z现在取某一个或几个特定值，那么我们就可以通过Gradient Descent来找到一个\(\theta\)尽量满足z能够以极高的概率生成我们希望的数据集DX。再一推广，就变成了，z取值某一范围，但去几个特定值或某一取值范围是就面临z各种取值的概率问题，我们回头再讨论这个棘手的问题，你现在只要知道冥冥之中，我们似乎可以通过学习参数\(\theta\)寻找最优解就行了。
OK，我们还要说一个关键问题，就是我们确信f是存在的，我们认为变量与神秘变量之间的关系一定可以用一个函数来表示。
2. 变分自编码器(VAE)
本节，我们探讨如何最大化公式(1)。首先，我们要讨论怎样确定神秘变量z，即z应该有几个维度，每个维度的作用域是什么？更为较真的，我们可能甚至要追究每一维度都代表什么？他们之间是不是独立的？每个维度的概率分布是什么样的？
如果我们沿着这个思路进行下去，就会陷入泥潭，我们可以巧妙地避开这些问题，关键就在于让他们继续保持“神秘”！
我们不关心每一个维度代表什么含义，我们只假定存在这么一群相互独立的变量，维度我们也回到之前的讨论，我们虽然不知道有多少，我们可以假定有n个主要因素，n可以定的大一点，比如假设有4个主因素，而我们假定有10个，那么最后训练出来，可能有6个长期是0。最后的问题需要详细讨论一下，比较复杂，就是z的概率分布和取值问题。
既然z是什么都不知道，我们是不是可以寻找一组新的神秘变量w，让这个w服从标准正态分布\(N(0, I)\)。\(I\)是单位矩阵，然后这个w可以通过n个复杂函数，转换成z呢？有了神经网络这些也是可行的，假设这些复杂函数分别是\(h_1, h_2, …, h_n\)，那么有\(z_1 = h_1(w_1), …, z_n = h_n(w_n) \)。而z的具体分布是什么，取值范围是多少我们也不用关心了，反正由一个神经网络去算。回想一下\(P(DX|z;\theta) = N(DX|f(z;\theta), \sigma^2 \times I)\)，我们可以想象，如果\(f(z;\theta)\)是一个多层神经网络，那么前几层就用来将标准正态分布的w变成真正的隐变量z，后面几层才是将z映射成x，但由于w和z是一一对应关系，所以w某种意义上说也是一股神秘力量。就演化成w和x的关系了，既然w也是神秘变量，我们就还是叫回z，把那个之前我们认为的神秘变量z忘掉吧。
好，更加波澜壮阔的历程要开始了，请坐好。
我们现在已经有了
\(P_z(z) = N(0, I)\),
\(P_{xz}(DX|z;\theta) = N(DX|f(x;\theta), \sigma^2 * I)\),
\(P_t(DX) = \int P_{xz}(DX|z;\theta)P_z(z)dz \),
我们现在就可以专心攻击f了，由于f是一个神经网络，我们就可以梯度下降了。但是另一个关键点在于我们怎么知道这个f生成的样本，和DX更加像呢？如果这个问题解决不了，我们根本都不知道我们的目标函数是什么。
3. 设定目标函数
我们先来定义个函数 Q(z|DX)，数据集DX的发生，z的概率密度函数，即如果DX发生，Q(z|DX)就是z的概率密度函数，比如一个数字图像0，z隐式代表0的概率就很大，而那些代表1的概率就很小。如果我们有办法搞到这个Q的函数表示，我们就可以直接使用DX算出z的最佳值了。为什么会引入Q呢？其实道理很简单，如果DX是x这个变量直接生成的，要想找回x的模型，就要引入一个概率密度函数T(x|DX)，亦即针对DX，我们要找到一个x的最佳概率密度函数。
现在的问题就变成了，我们可以根据DX计算出Q(z|DX)来让他尽量与理想的Pz(z|DX)尽量的趋同，这就要引入更加高深的功夫了——相对熵，也叫KL散度(Kullback-Leibler divergence,用 \(\mathcal{D}\)表示)。
离散概率分布的KL公式
\( KL(p \parallel q) = \sum p(x)log \frac{p(x)}{q(x)} \)连续概率分布的KL公式
\( KL(p \parallel q) = \int p(x)log \frac{p(x)}{q(x)}dx \)\(P_z(z|DX)\)和\(Q(z|DX)\)的KL散度为
\(\mathcal{D}[Q(z|DX)\parallel P_z(z|DX)] = \int Q(z|DX)[logQ(z|DX) – logP_z(z|DX)] \)
也可写成
\(\mathcal{D}[Q(z|DX)\parallel P_z(z|DX)] = E_{z\sim Q}[logQ(z|DX) – logP_z(z|DX)] \)
通过贝叶斯公式
\(P_z(z|DX) = \frac{P(DX|z)P(z)}{P(DX)}\)
这里不再给P起名，其实Pz(z)直接写成P(z)也是没有任何问题的，前面只是为了区分概念，括号中的内容已经足以表意。
因为\(logP(DX)\)与z变量无关，直接就可以提出来了，进而得到闪闪发光的公式(2)：
公式(2)是VAE的核心公式，我们接下来分析一个这个公式。
公式的左边有我们的优化目标P(DX)，同时携带了一个误差项，这个误差项反映了给定DX的情况下的真实分布Q与理想分布P的相对熵，当Q完全符合理想分布时，这个误差项就为0，而等式右边就是我们可以使用梯度下降进行优化的，这里面的Q(z|DX)特别像一个DX->z的编码器，P(DX|z)特别像z->DX的解码器，这就是VAE架构也被称为自编码器的原因。
由于DX早已不再有分歧，我们在这里把所有的DX都换成了X。
我们现在有公式(2)的拆分：
– 左侧第一项：\(logP(X)\)
– 左侧第二项：\(\mathcal{D}(Q(z|X \parallel P(z|X))\)
– 右边第一项：\(E_{z\sim Q}[logP(X|z)] \)
– 右边第二项：\(\mathcal{D}[Q(z|X) \parallel P(z)]\)
还有下面这些：
– \(P(z) = N(0, I)\),
– \(P(X|z) = N(X|f(z), \sigma^2 * I)\),
– \(Q(z|X) = N(z|\mu (X), \Sigma (X)) \)
我们再明确一下每个概率的含义：
– \(P(X)\)——当前这个数据集发生的概率，但是他的概率分布我们是不知道，比如，X的空间是一个一维有限空间，比如只能取值0-9的整数，而我们的 X = { 0, 1, 2, 3, 4 }，那么当概率分布是均匀的时候，P(X)就是0.5，但是如果不是这个分布，就不好说是什么了，没准是0.1, 0.01，都有可能。P(X)是一个函数，就好像是一个人，当你问他X=某个值的时候，他能告诉发生的概率。
– \(P(z)\) —— 这个z是我们后来引入的那个w，还记得吗？他们都已经归顺了正态分布，如果z是一维的，那他就是标准正态分布N(0, I)。
– \(P(X|z)\) —— 这个函数的含义是如果z给定一个取值，那么就知道X取某个值的概率，还是举个例子，z是一个神奇的变量，可以控制在计算机屏幕上出现整个屏幕的红色并且控制其灰度，z服从N(0,1)分布，当z=0时代表纯正的红色，z越偏离0，屏幕的红色就越深，那么P(X|z)就表示z等于某个值时X=另一值的概率，由于计算机是精确控制的，没有额外的随机因素，所以如果z=0能够导致X取一个固定色值0xFF0000，那么P(X=0xFF0000|z=0)=1，P(x!=0xFF0000|z=0) = 0，但如果现实世界比较复杂附加其他的随机因素，那么就可能在z确定出来的X基础值之上做随机了。这就是我们之前讨论的，大数定理，\(P(X|z) = N(X|f(x), \sigma^2 * I)\)。f(z)就是X与z直接关系的写照。
– \(P(z|X)\) —— 当X发生时，z的概率是多少呢？回到刚才计算机屏幕的例子，就非常简单了P(z=0|X=0xFF0000) = 1, P(z!=0|X=0xFF0000) = 0，但是由于概率的引入，X|z可以简化成高斯关系，相反，也可以简化高斯关系。这个解释对下面的Q同样适用。
– \(Q(z)\) —— 对于Q的分析和P的分析是一样的，只不过Q和P的不同时，我们假定P是那个理想中的分布，是真正决定X的最终构成的背后真实力量，而Q是我们的亲儿子，试着弄出来的赝品，并且希望在现实世界通过神经网络，让这个赝品能够尝试控制产生X。当这个Q真的行为和我们理想中的P一模一样的时候，Q就是上等的赝品了，甚至可以打出如假包换的招牌。我们的P已经简化成N(0,I)，就意味着Q只能向N(0, I)靠拢。
– \(Q(z|X)\) —— 根据现实中X和Q的关系推导出的概率函数， 当X发生时，对应的z取值的概率分布情况。
– \(Q(X|z)\) —— 现实中z发生时，取值X的概率。
我们的目标是优化P(X)，但是我们不知道他的分布，所以根本没法优化，这就是我们没有任何先验知识。所以有了公式(2)，左边第二项是\(P(z|X)\)和\(Q(z|X)\)的相对熵，意味着X发生时现实的分布应该与我们理想的分布趋同才对，所以整个左边都是我们的优化目标，只要左边越大就越好，那么右边的目标就是越大越好。
右边第一项：\(E_{z\sim Q}[logP(X|z)]\)就是针对面对真实的z的分布情况(依赖Q(z|X)，由X->z的映射关系决定)，算出来的X的分布，类似于根据z重建X的过程。
右边第二项:\(\mathcal{D}[Q(z|X) \parallel P(z)]\) 就是让根据X重建的z与真实的z尽量趋近，由于P(z)是明确的N(0, I)，而Q(z|X)是也是正态分布，其实就是要让Q(z|X)趋近与标准正态分布。
现在我们对这个公式的理解更加深入了。接下来，我们要进行实现的工作。
4. 实现
针对右边两项分别实现
第二项是Q(z|X)与N(0, I)的相对熵，X->z构成了编码器部分。
Q(z|x)是正态分布，两个正态分布的KL计算公式如下（太复杂了，我也推不出来，感兴趣的看[1]）：
\(det\)是行列式，\(tr\)是算矩阵的秩，\(d\)是\(I\)的秩即\(d=tr(I)\)。
变成具体的神经网络和矩阵运算，还需要进一步变化该式：
\(KL(N(\mu, \Sigma) \parallel N(0, I)) = \frac{1}{2}\sum_{i}[-log(\Sigma_{i}) + \Sigma_{i} + \mu_{i}^2 – 1] \)
OK，这个KL我们也会计算了，还有一个事情就是编码器网络，\(\mu(X)\)和\(\Sigma(X)\)都使用神经网络来编码就可以了。
第一项是\(E_{z\sim Q}[logP(X|z)] \)代表依赖z重建出来的数据与X尽量地相同，z->X重建X构成了解码器部分，整个重建的关键就是f函数，对我们来说就是建立一个解码器神经网络。
到此，整个实现的细节就全都展现在下面这张图里了
由于这个网络传递结构的一个环节是随机采样，导致无法反向传播，所以聪明的前辈又将这个结构优化成了这样：
这样就可以对整个网络进行反向传播训练了。
具体的实现代码，我实现在了这里：
https://github.com/vaxin/TensorFlow-Examples/blob/master/examples/3_NeuralNetworks/variational_autoencoder.py
里面的每一步，都有配合本文章的对照解释。
5. 延伸思考
之所以关注VAE，是从文献[4]引发的，由于视觉早期的概念形成对于之后的视觉认知起了十分关键的作用，我们有理由相信，在神经网络训练时，利用这种递进关系，先构建具有基础认知能力的神经网络，再做高级认知任务时会有极大的效果提升。但通过前面神秘变量的分析，我们发现，为了充分利用高斯分布，我们将w替换成了z，也就是说真正的隐变量隐藏在f的神经网络里面，而现在的z反而容易变成说不清楚的东西，这一不利于后续的时候，二来我们需要思考，是否应该还原真实的z，从而在层次化递进上有更大的发挥空间。
[1] http://stats.stackexchange.com/questions/60680/kl-divergence-between-two-multivariate-gaussians
[2] https://arxiv.org/abs/1606.05908
[3] https://zhuanlan.zhihu.com/p/22464768
[4] https://arxiv.org/abs/1606.05579